Shells tratam strings representando inteiros em decimais como inteiros. Se você tiver um diretório cujo nome contenha apenas dígitos sem zeros à esquerda, você terá um número e poderá executar aritmética nele.
for d in 1*; do
mv "$d/old" "$((d+1))/new"
done
Você pode tornar o script mais robusto e realizar a movimentação apenas se o subdiretório old
realmente existir e criar o destino, se necessário.
for d in 1*; do
if [ -d "$d/old" ]; then
mkdir -p "$((d+1))"
mv "$d/old" "$((d+1))/new"
fi
done
find
não é útil aqui, pois você não está percorrendo subdiretórios recursivamente.