Você pode editar o menu Iniciar do Mint pelas configurações do sistema. Aqui você pode adicionar um caminho binário a ele e também especificar seu ícone.
Depois de ser o menu Iniciar, um clique direito no elemento de menu pode colocá-lo no painel.
Seu ícone no desktop é irrelevante, no editor startmenu você pode adicionar um caminho binário e, opcionalmente, especificar um arquivo de ícone.