Você pode usar sed
.
sed -n '/\[14:59/,/\[15:03/p' log
Atualização: remota via ssh
ssh [email protected] "sed -n -e '/\[14:59/,/\[15:03/p' /var/logfile"
Para extrair apenas linhas que foram encontradas entre os tempos de interesse em uma data específica, inclua a data em sua string de pesquisa:
sed -n '/\[14:59.*15-10-2015*/,/\[15:03.*15-10-2015/p' log