O wifi que está "conectado" só fornece a camada física.
Suas configurações de IP são plausíveis? Você definiu IP estático porque o DHCP não funcionou em casa?
ifconfig wlan0 (or name of wifi interface)
Verifique o roteamento
route -n
Você tem um gateway padrão? Se não, defina o correto
route add default gw <ip of gateway>
Você pode fazer ping em um endereço interno (o roteador?)
ping <router address>
Você consegue pingar externamente?
ping 8.8.8.8
O DNS está definido corretamente?
nslookup google.com
Não? Em seguida, defina-o manualmente por agora:
nano -w /etc/resolv.conf
nameserver 8.8.8.8
nameserver 8.8.4.4