Você não pode, diretamente. Pelo menos, não sem misturar ou descartar a saída padrão. No entanto, existe uma maneira!
#!/bin/bash
errorlog=$(mktemp)
trap 'rm -f "$errorlog"' EXIT
pwcheck="$(psql -q -U postgres -h $ip -d $database 2> "$errorlog")"
if [[ 0 -ne $? ]]; then
echo "Something went wrong; error log follows:"
cat "$errorlog"
fi