Tente fazer assim:
DISPLAY=:0 gedit
Ou mesmo, apenas:
export DISPLAY=:0
Antes de executar seus comandos.
O motivo pelo qual você vê Cannot open display: sem exibição especificada após : é porque $DISPLAY não está definido, pois ssh não sabe que você tem uma sessão X em execução.
Você disse que não deseja usar ssh -X (X11 Encaminhamento), mas, caso os outros acabem aqui, você também pode pesquisar usando o encaminhamento X11 , se você quiser que o aplicativo GUI seja exibido em sua máquina local (cliente) em vez do remoto (servidor ) máquina.