Sua tabela de partição parece OK, mas é um pouco estranha. Em particular, a maioria das ferramentas de particionamento coloca uma estrutura de dados conhecida como um Extended Boot Record (EBR) no setor imediatamente anterior à lógica partição descreve. No seu caso, no entanto, não há diferença entre suas partições lógicas 5 e 6, portanto, a EBR da partição 6 deve estar localizada em outro lugar. Isso é legal, mas é incomum. Minha suspeita é que o libparted (usado por parted , GParted e a maioria dos instaladores do GUI Linux) é confundido por esse posicionamento, resultando na tabela de partições vazia que você está vendo.
Você pode obter mais informações sobre isso executando parted no disco, como em:
sudo parted /dev/sda print
Se estiver certo, pode haver uma mensagem de erro que descreva o problema (provavelmente usando termos confusos). É concebível que a mensagem sugira uma correção. Se assim for, você poderia tentar isso (mas veja minha advertência abaixo).
A maneira mais fácil de corrigir isso é reduzir a partição 5 ou 6, abrindo assim um pequeno espaço entre eles. (Apenas um setor deve ser suficiente, mas a maioria das ferramentas de particionamento se alinham em limites de 1MiB, então você pode precisar de uma diferença de 1MiB.) O problema é que o GParted não vê partições, então você não pode usá-lo; e as ferramentas internas do Windows provavelmente tentarão converter o disco em um formato Gerenciador de discos lógicos (LDM) , que tornará o Linux não inicializável. O programa EaseUS que você usou para a sua captura de tela pode fazer o trabalho com segurança, mas não posso prometer isso.
Se você redimensionar as partições como eu sugiro e o GParted ainda mostrar o disco como vazio, execute o FixParts nele, como você já fez. Desta vez, porém, o FixParts não deve mostrar nenhuma partição como "omitida". Você deve então ser capaz de digitar w para salvar suas alterações (o que seria nada além de reescrever EBRs de uma maneira que parted gostariam).
A grande ressalva: Como sua tabela de partições é um pouco incomum, qualquer alteração que você faça é arriscada. Sou o autor do FixParts, então conheço seus recursos; mas mesmo com o FixParts, não posso prometer como reagirá ao seu disco depois de fazer a alteração que sugiro. Pior, uma operação de redimensionamento é arriscada na melhor das hipóteses, e por causa de suas esquisitices da tabela de partições, é ainda mais arriscado. Eu strongmente recomendo que você faça backup de dados importantes antes de fazer qualquer outra coisa com o seu disco.