Como a steeldriver comentou, a maneira preferida é usar a opção -h ( --no-filename ). Se sua implementação de grep não incluir essa opção, você poderá usar sed ou cut para alterar a saída:
grep [OPTIONS] PATTERN [FILE...] | sed 's/[^:]*://'
grep [OPTIONS] PATTERN [FILE...] | cut -d : -f 2-
Observe, no entanto, que essa solução não é genérica, pois é interrompida por nomes de arquivos que contêm dois pontos ( : ).