O README nesse diretório indica que os scripts nesse diretório são chamados apenas uma vez no desligamento (e não na reinicialização).
Com um programa de teste simples
#!/bin/bash
LOG=/root/backup.log
date >> $LOG
echo $* >> $LOG
Eu notei que uma vez o programa foi chamado duas vezes, uma vez sem um parâmetro e uma vez com o parâmetro 'stop'. No entanto, não consegui reproduzi-lo.
Eu sugeriria registrar os parâmetros de chamada reais no programa e no teste de script para $1 sendo stop .
Também é mais comum colocar esse programa como backup em /etc/init.d e criar um link de /etc/rc0.d/K01backup para esse script, mas isso não deve influenciar sua operação de forma alguma. Todas as ferramentas que gerenciam essas entradas trabalham com a criação / exclusão desses links.
Baseado em experimentar este script básico, o OP descobriu que havia um arquivo de backup para editar o arquivo: /etc/rc0.d/K01backup~ que foi executado também. Colocar o arquivo backup em /etc/init.d/ desde o início, e criar um link, evitaria que isso ocorresse (independentemente de haver ou não um arquivo /etc/init.d/backup~ ).