Acredito que o kernel Linux não dependa de um shell POSIX (embora procure a linha #! ao executar arquivos).
Eu suspeito que é possível ter um sistema Linux em funcionamento, mas a maioria dos softwares espera uma maior compatibilidade com POSIX, e os softwares de desktop normalmente esperam a maior parte da compatibilidade LSB (Linux Standard Base) também. Muitos aplicativos, como o Firefox, usam wrappers de shell (POSIX) para serem executados, portanto, eles não funcionarão sem modificações.