Contanto que você não tenha raiz, não será possível testar toda a memória.
Existem vários programas para testar a memória, mas suspeito que a maioria ou todos eles exigem acesso root.
O que você pode tentar é gerar um arquivo grande com dados aleatórios, o tamanho do seu disco RAM, executar uma soma de verificação como sha1, copiá-lo e comparar a soma de verificação. Repita isso centenas de vezes com um script e você pode estar se aproximando de um método para testar a memória. Observe que isso não testa a escrita de acesso aleatório, mas apenas uma maneira de interagir com a memória.
Eu não suspeitaria que houvesse um problema físico ainda, já que há tantas camadas que poderiam dar errado entre elas.