Você pode ler o valor na primeira coluna da última linha do arquivo assim:
#!/bin/bash
# This shell script is to tabulate and search for SR
next_n=$(($(tail -n1 /tmp/cases.txt 2>/dev/null | cut -f1) + 1))
read -p "Enter your SR number : " SR
echo -e "$next_n\t$SR\t$(date)" >> /tmp/cases.txt
cut -f1
seleciona o primeiro campo da linha, sendo os campos sequências de caracteres separados por tabulações.
Isso também funciona quando o arquivo está vazio ou inexistente: next_n
está definido como 1 neste caso.