Sua expressão é muito gananciosa. Você quer corresponder o atributo, uma citação, alguns caracteres não citados e a citação final:
sed 's/ w:date="[^"]*"//g' file
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<w:ins w:id="0" w:author="Nick"><w:r w:rsidR="009C39E2"><w:rPr><w:ins w:id="1" w:author="Nick">