O ícone sem fio é exibido se você tiver uma placa sem fio conectada. Posso ocultá-lo clicando com o botão direito e desmarcando Ativar Wi-Fi
Talvez o NetworkManager não esteja gerenciando a conexão. Se for o caso, veja esta página.
Tente remover o perfil atual da sua conexão Ethernet e crie um novo. Pode ser qualquer configuração errada.