Eu percebi que a solução era muito mais simples do que eu esperava, simplesmente crie um túnel SSH da seguinte forma:
ssh -f -p port username@ip -L 3306:ip:3306 -N
Em que port
é a porta do servidor da Web e ip
é o endereço IP dela.
Estou trabalhando no AutoSSH para manter uma conexão persistente.