Experimente as opções --noprofile e --rcfile file_name onde file_name é o arquivo de configuração que você deseja ler, por exemplo:
bash --noprofile --rcfile ~/.bash_profile
Bem ... alguém não gostou dessa resposta, mas parece ser exatamente o que foi desejado:
--noprofile
faz com que todos os arquivos rc normais sejam não lidos.
--rcfile <some file>
faz com que o arquivo especificado seja lido. Isso pode certamente ser o .bash_profile do usuário, conforme solicitado.