Se todos os caminhos começarem com / , você poderá corresponder apenas a / seguido por uma sequência de caracteres que não sejam " :
$ grep -o '/[^"]*' file
/user/bin/share
/home/user/.local
/root/
Como alternativa, para uma abordagem mais estruturada, use awk para extrair aspas e imprimir apenas o segundo campo:
awk '{gsub(/"/,"",$2); print $2}' file