O mecanismo exato depende do que o shell está executando na "sessão de terminal". Para o shell BASH, a página man de "bash" diz:
MAILCHECK
Specifies how often (in seconds) bash checks for mail. The
default is 60 seconds. When it is time to check for mail, the
shell does so before displaying the primary prompt. If this
variable is unset, or set to a value that is not a number
greater than or equal to zero, the shell disables mail checking.
, portanto, definir MAILCHECK=0
no seu arquivo .bashrc
faria isso. Outras conchas têm páginas de manual com conselhos semelhantes.