Existem diferentes tipos de citações no shell e diferentes soluções possíveis. A outra outra resposta está correta, os valores entre aspas simples não são expandidos. Mas você quer o TZ como parte do argumento e deseja que o argumento contenha aspas. Você pode conseguir isso adicionando uma parte em aspas simples e uma parte entre aspas duplas sem separador.
date --date='TZ="GMT" '"${RequestDate}" "+%Y-%m-%d %H:%M:%S"
Você também pode usar uma barra invertida
date --date="TZ=\"GMT\" ${RequestDate}" "+%Y-%m-%d %H:%M:%S"