Existem várias maneiras de escapar de strings longas com aspas diferentes. O mais simples é terminar a aspa simples e escapar da aspa simples:
'...'\''...'
Mas há algumas coisas mais legais que você pode fazer. Heredocs são uma boa maneira de evitar o problema de citação:
curl -s -X POST https://www.hashemian.com/tools/form-post-tester.php \
-H "Content-Type: application/json" \
-H "Accept: application/json" \
-d @- <<EOF
{
"Variable1":"Value1",
"Variable2":"Value2's",
"Variable3":"Value3",
"Variable4":"$Value4Variable",
"Variable5":"Value5"
}
EOF
@-
informa ao curl para ler a partir de stdin e <<EOF
inicia o heredoc que será alimentado no stdin de curl. A coisa legal com o heredoc é que você não precisa escapar de nenhuma aspas e pode usar variáveis bash dentro delas evitando a necessidade de se preocupar em como escapar das aspas e tornar a coisa toda muito mais legível.