Sim, a variável de ambiente BASH_ENV deve ser usada para isso ( ENV quando bash está no modo POSIX), a expansão da variável é usada como o arquivo de inicialização do shell para a sessão não interativa. Observe que o valor dessa variável está sujeito à expansão de parâmetro, à substituição de comandos e à expansão aritmética, e o nome do arquivo final não é pesquisado no PATH .
Então, basta se referir ao arquivo desejado como o valor da variável, por exemplo assumindo ~/.bashrc :
BASH_ENV=~/.bashrc bash -c '...'