Eu adicionei o seguinte ao meu crontab digitando crontab -e
e ele funcionou
* * * * * env DISPLAY=:0 google-chrome www.github.com
Meu navegador chrome abriu www.github.com
a cada minuto. Então, o seguinte deve funcionar para você.
* * * * * env DISPLAY=:0 chromium-browser http://mysite.com