Para se conectar ao github, você precisa da chave privada no novo servidor. Você pode copiar a chave privada para a nova máquina, mas eu aconselho você a não fazer isso. Em vez disso, gere um novo par de chaves ssh e adicione a chave pública à sua conta do Github no link .
Por favor, leia sobre os sistemas de chave pública / privada porque a partir de sua pergunta parece que você não tem algum conhecimento básico.