O problema aqui é que ffmpeg não foi colocado em um diretório que esteja na $PATH
./configure --prefix="$HOME/ffmpeg_build" --bindir="$HOME/bin"
Isso fará com que os arquivos de ffmpeg sejam instalados em $HOME/ffmpeg_build e o executável compilado em $HOME/bin (na make install step). Se você puder executá-lo como usuário normal, isso significa que você modificou seu $PATH e adicionou esse diretório a ele.
Para o root executar, você pode adicionar /home/your_user/bin ao caminho das raízes ou, muito melhor, basta chamar sudo e fornecer o caminho para o executável:
sudo ~/bin/ffmpeg