Quando você formata a partição de disco com o sistema de arquivos nativo, as permissões para o diretório que você monta serão as mesmas que as permissões para o diretório raiz dessa partição. As permissões para montar o próprio diretório geralmente não fazem sentido.
Alguns sistemas de arquivos possuem sinalizadores de montagem que permitem alterar permissões (isso é útil, por exemplo, para dispositivos USB).
A montagem de sistemas de arquivos não-nativos (vfat, ntfs) funciona de maneira diferente: você pode fornecer opções para mount
para definir o proprietário dos arquivos no volume montado & permissões para esses arquivos.
Eu recomendo que você leia man mount
para liberação.
No caso comum, quando você tem um sistema de arquivos nativo em um dispositivo removível, você deve criar UIDs e GIDs semelhantes, pelo menos para você, em todos os computadores nos quais esse dispositivo será montado. Outro ponto que você deve fazer da raiz chmod -R a+rwX /mountpoint/of/device
após montá-lo e, no futuro, não criar arquivos e diretórios com permissões diferentes de 666
e 777
, respectivamente.