Usar um tipo de citação é mais simples e resolve esse problema;
curl -H "Content-Type: application/json" -X POST -d "{\"uptime\": \"$(uptime)\"}" "http://sitename.com/update.php"
ou você pode usar dois tipos de citação, mas é menos elegante;
curl -H 'Content-Type: application/json' -X POST -d '{"uptime": "'"$(uptime)"'"}' 'http://sitename.com/update.php'