A modificação de PATH
não resolverá o problema. A mensagem de erro diz que está procurando por um nome de caminho específico. Você poderia apaziguá-lo fazendo
sudo ln -s /home/user/firefox /usr/bin/firefox
assumindo que "firefox" no seu diretório home é
- um nome de arquivo e
- não há link simbólico pendente
/usr/bin/firefox
- não tem outras dependências ...
O comentário sobre /home/user/firefox/firefox-bin
indica que "firefox" é um diretório, então ...
sudo ln -s /home/user/firefox/firefox-bin /usr/bin/firefox
parece ser o que você pode querer fazer.