Bem-vindo ao unix.SE.
Seu plano provavelmente funcionará, a menos que o BIOS da máquina seja muito estranho.
Would this work?
Espero que seja.
How likely is that the installer sees the usb drive as a good target for the installation?
Muito provável.
Assuming the original issue was not caused by compatibility problem with the bios, and that the installation could be done through usb, would switching the drive from usb to sata result in a bootable system?
Sim.
Nota: você pode até usar uma máquina totalmente diferente para executar a instalação e "transplantar" o SSD. A arquitetura da CPU (i386 / amd64) e o estilo de inicialização (UEFI / BIOS) devem ser os mesmos.