Você está entendendo mal o propósito desta linha no arquivo da unidade:
Environment="LOGPATH=/var/log/menu/menu-core-price-update"
Esta propriedade é para configurar um local de diretório para o seu aplicativo Java efetuar login, se assim desejar. Mas se o aplicativo não gerar logs via log4j ou qualquer logger usado, não haverá logs neste local.
Com os serviços do systemd, todo o log do serviço de aplicativo é feito através do journald. Para ver seus registros de aplicativos:
$ journalctl -u menu-core-price-update.service
Exemplo
Aqui estão as primeiras 10 linhas dos logs do meu sshd
$ journalctl -u sshd.service -n 10
-- Logs begin at Tue 2018-07-17 16:01:01 EDT, end at Sat 2018-07-21 03:05:37 EDT. --
Jul 21 00:55:04 centos7 sshd[9059]: Connection closed by 127.0.0.1 port 33718 [preauth]
Jul 21 00:55:04 centos7 sshd[9067]: Connection closed by 127.0.0.1 port 33720 [preauth]
Jul 21 00:55:08 centos7 sshd[9078]: pam_unix(sshd:auth): authentication failure; logname= uid=
Jul 21 00:55:10 centos7 sshd[9078]: Failed password for user1 from 127.0.0.1 port 33722 ssh2
Jul 21 00:55:10 centos7 sshd[9078]: error: maximum authentication attempts exceeded for user1
Jul 21 00:55:10 centos7 sshd[9078]: Disconnecting: Too many authentication failures [preauth]
Jul 21 00:55:21 centos7 sshd[9110]: Connection closed by 127.0.0.1 port 33724 [preauth]
Jul 21 00:55:21 centos7 sshd[9118]: Connection closed by 127.0.0.1 port 33726 [preauth]
Jul 21 00:55:23 centos7 sshd[9129]: Accepted password for user1 from 127.0.0.1 port 33728 ssh2
Jul 21 02:24:41 centos7 sshd[9433]: Accepted publickey for vagrant from 10.0.2.2 port 50662 ss