Uma maneira de conseguir isso é colocar os logs em uma subpasta sob /var/log
e, em seguida, definir a permissão para as subpastas.
Outro motivo é entrar no syslog com logger
e usar um filtro para redirecionar os registros para um arquivo específico.
por exemplo
# /etc/rsyslog.d/10-myrules.conf
if $programname == ["script1", "script2"]
then {
action(type="omfile" file="/var/log/myscripts/sys.log")
stop
}
E você provavelmente também deve definir uma regra de logrotate enquanto faz isso.