Antes de mais nada, você deve simplificar seu comando para:
$ find "/path to log directory/" -maxdepth 1 -type d -mtime +0 | sed 's#.*/##; s#_##g'
01052016
03052016
04052016
02052016
Em seguida, para salvar como uma matriz, você pode fazer:
array=( $(find "/path to log directory/" -maxdepth 1 -type d -mtime +0 | sed 's#.*/##; s#_##g') )
Isso salva como você deseja, em uma matriz com índices numéricos crescentes a partir de 0:
$ for i in {0..3}; do echo "$i : ${array[$i]}"; done
0 : 01052016
1 : 03052016
2 : 04052016
3 : 02052016
Dito isso, se você precisar se iterar em um array associativo, também poderá fazer isso:
$ declare -a array=( "foo"=>"bar" "baz"=>"bad" )
$ for i in ${!array[*]}; do echo "$i : ${array[$i]}"; done
baz : bad
foo : bar