Você poderia configurar o sudo para permitir o comando cp foo /home/test/
sem uma senha e, em seguida, usar este comando:
ssh testUser@MachineB 'cat > foo && sudo mv foo /home/test/' < my_file
Pipetar dados através de ssh para um comando de sua escolha do outro lado é o truque geral aqui. Provavelmente, você pode encontrar uma dúzia de outras maneiras de atingir sua meta usando variações disso.