O problema é que você está atribuindo apenas var
no primeiro subshell; o segundo subnível não tem acesso a nada atribuído a ele. Para acessar uma variável em ambos, você precisa declarar de antemão:
var=123
cat <(echo $var) <(echo $var)
Se você precisar manter o original e acompanhar as coisas que o alteram:
var=123 # set the default value
PARAM1=$(/bin/something; echo $var) # something could edit var's value
PARAM2=$(/bin/otherthing; echo $var) # so could otherthing
cat <(echo $PARAM1) <(echo $PARAM2)