Acontece que o PPP está afetando sua própria porta serial, e como esse é o que é usado para configurar o GPS, é isso que está causando o problema.
Comparando os resultados de stty -F /dev/ttyUSB3
antes e depois de executar o PPP, ficou aparente que o PPP estava configurando a porta serial no modo raw, o que significava que eu não poderia usá-lo para configurar a porta do GPS. O interessante é que essas configurações persistiram mesmo depois que os nós do dispositivo ttyUSBx foram removidos e recriados devido ao reset do modem.
A simples execução de stty sane -F /dev/ttyUSB3
para voltar às configurações padrão permitiu que eu configurasse a porta do GPS sem problemas.