Se você quiser editar seu arquivo, com um GNU sed, você pode:
sed -i s/'$time'/$(date +%H:%M:%S)/ index.html
o truque aqui é citando corretamente . Observe que isso alterará o primeiro $time
em cada linha do seu documento com a hora; você pode limitar a uma linha específica (digamos 53) com
sed -i 53s/'$time'/$(date +%H:%M:%S)/ index.html