O que você está mostrando funciona conforme o esperado no meu sistema. Tem certeza de que está usando bash e não sh ? De qualquer forma, eu tentei com dash e com busybox sh e também funcionou lá. Na ausência de tee , acho que a única solução será cat $logfile após o comando ser concluído.
Outra possibilidade seria criar um link para busybox chamado tee e tentar executá-lo. O busybox que veio com o meu Debian suporta isso, mas eu não sei se o seu irá:
ln -s /bin/busybox /bin/tee
Em seguida, tente executar tee normalmente.
Se você realmente não pode obter tee , sua única outra opção seria algo assim:
foo=$( ( time dd if="file1" of="file2" bs=12 count=5 ) 2>&1 &)
echo "$foo"
echo "$foo" >> logfile