Para mover /var como um todo, recomendo iniciar a partir de um CD ao vivo (ou USB), a menos que você esteja muito confiante no que está fazendo (e, se estivesse, não estaria perguntando isso pergunta).
A separação de /var não é particularmente útil. Se a partição / estiver quase cheia, procure um ou dois diretórios grandes que você possa mover com mais facilidade, como /var/www ou /var/mail ou /var/cache . Ah, e execute apt-get clean para garantir que você não se preocupe com uma grande quantidade de pacotes .deb baixados e instalados.