(escrito como resposta após confirmação).
Você tem certeza de que 192.168.0.0 é uma rede / 16? Se as outras máquinas tiverem configurado como 192.168.1.0/24 (o que é mais comum), então seu 192.168.5.0 na eth1 seria ignorado e, portanto, não haverá pings.
Altere a máscara de rede para 255.255.255.0 para uma sub-rede / 24 neste computador ou altere a máscara de rede para 255.255.0.0 para uma sub-rede / 16 nos outros computadores e veja se isso a corrige.