"... Simplesmente adicionar espaço via lvextend produz erro"
Sim, vai.
Porque / dev / sda2 é do tipo "Linux". lvextend requer que a partição de destino seja do tipo " linux-lvm / lvm ". Eu não acho que você pode estender o tamanho da partição de destino do tipo "Linux".
Além disso, seu / dev / sda4 é do tipo "extended", o que significa que você precisará criar partições lógicas para poder usá-lo. Não é não alocado.
Note que "lvextend" requer ambas as partições do tipo linux-lvm / lvm, no mesmo volume criado.
O resize2fs é capaz de estender uma partição ext2,3,4, desde que o kernel suporte o redimensionamento on-line. Dito isto, requer que o sistema de arquivos seja desmontado, e como você não pode fazer isso durante a inicialização do sistema operacional. você pode usar um disco ao vivo e redimensionar sua partição raiz.
Você também pode criar mais partições e mover algum conteúdo do diretório raiz, se isso for possível no seu caso. Talvez outros possam fornecer uma solução melhor.