Mais fácil com sed
:
sed -n 's/^{\(.*\)}$//p' file >> FileOne
com awk
:
awk '/^[{].*[}]$/ {print substr($0, 2, length - 2)}' file >> FileOne
>>
abre o arquivo no modo append na saída padrão, então a saída de sed
/ awk
será adicionada a FileOne
.