Mais fácil com sed :
sed -n 's/^{\(.*\)}$//p' file >> FileOne
com awk :
awk '/^[{].*[}]$/ {print substr($0, 2, length - 2)}' file >> FileOne
>> abre o arquivo no modo append na saída padrão, então a saída de sed / awk será adicionada a FileOne .