Se o seu sistema tiver um kernel panic, você não verá isso no log, já que as interrupções não estão mais disponíveis, então nenhum dado pode ser gravado no HDD.
Basicamente, pegar um pânico aleatório do kernel é complicado. Mantenha o seu sistema no console do modo de texto até que o problema apareça (certifique-se de desligar todos os mecanismos de economia de energia do monitor, pois uma tela suspensa pode não ser ligada novamente) ou você pode usar uma porta serial para registrar mensagens do kernel em outro dispositivo. Veja a seção "Console serial" aqui: Truques de Depuração do Kernel do Ubuntu
A opção serial requer hardware adicional (USB- > Serial Cable), mas você afirmou que deixar o sistema no modo terminal não aciona o problema, então serial seria provavelmente o caminho a percorrer.