O mais fácil seria adicionar log ao aplicativo. Registre os cabeçalhos antes de enviar e após o recebimento e, em seguida, leia os registros. Essa é a única coisa que seria "simples". Eu estou supondo que você não pode fazer isso. Obviamente, não há como o software no seu navegador capturar as comunicações entre dois sistemas remotos na Internet. Tudo o mais é mais complicado.
A maneira mais adequada de fazer isso, supondo que você não queira remontar os pacotes capturados fora da linha (ala wireshark), é definir um proxy entre os dois aplicativos. Assim, o seu sistema não se conecta diretamente ao remoto, ele se conecta ao seu proxy local. Se não quiser aceitar a reconfiguração, engane-o (direcione seu DNS localmente de volta ao proxy e o proxy se conectará ao seu IP real).
O proxy passa tudo entre os dois essencialmente inalterados, mas dá a você a chance de registrar o que quiser sobre o pedido e a resposta. Isso é efetivamente o mesmo, como se você fosse capaz de examinar o pedido / resposta no switch em algum lugar entre você.
Observe que essa é uma alteração intrusiva e provavelmente interromperá o aplicativo até você acertar. Portanto, você deve tentar isso com um servidor de teste, o que provavelmente seria o suficiente para estabelecer o conteúdo em questão. Se você quiser segui-lo, eu recomendo nginx como seu daemon proxy.