É tecnicamente possível. O sistema de arquivos posixovl permite armazenar arquivos em um sistema de arquivos FAT, com metadados extras armazenados em arquivos adicionais para implementar coisas que o FAT não fornece : nomes de arquivos contendo caracteres que o FAT proíbe ou que são muito longos, metadados adicionais, como permissões e propriedade, outros tipos de arquivos, como links e dispositivos simbólicos, etc.
Isso não significa que seja uma boa ideia, no entanto. Seria difícil configurar (não sei de nenhuma distribuição que configure isso para você) e devagar.
Os atalhos podem, em teoria, ser lidos como links simbólicos, mas isso teria várias desvantagens. Alguém precisaria escrever um driver de sistema de arquivos que armazena links simbólicos como atalhos. O Windows pode atrapalhar links simbólicos quando edita atalhos (atalhos são vagamente parecidos com links simbólicos: links simbólicos apontam para um caminho de arquivo, enquanto atalhos do Windows rastreiam um arquivo e o Windows modifica o atalho se o arquivo de destino for movido). O Linux não teria como saber se um arquivo que se parece com um atalho é, na verdade, destinado a ser um link simbólico ou um arquivo regular.
Costumava haver uma maneira de instalar o Linux em uma imagem de disco que é armazenada como um único arquivo em um sistema Windows, chamado Wubi . Foi abandonado. Ele funciona, mas também tem várias desvantagens: baixo desempenho, alto risco de perda de dados se o sistema falhar, etc.
A maneira normal de instalar o Linux é a melhor maneira: deixar o instalador criar uma partição do Linux. Se você realmente não quiser criar uma partição Linux (por exemplo, porque seu gerenciamento de TI corporativo proíbe isso), execute o Linux em uma máquina virtual. Com o Windows 10, você pode executar vários aplicativos Linux por meio do Windows Subsystem for Linux ; você pode obter todo um espaço de usuário do Ubuntu dessa maneira.