Assumindo bash aqui.
Em vez de
if [[ ($file_size < 10737418240 ) && ($file_size > 1073741824 ) ]]
você pode usar
if (( file_size < 10737418240 )) && (( file_size > 1073741824 ))
O (( ... )) é uma avaliação aritmética na qual os nomes das variáveis serão interpretados como números inteiros e os operadores < , > etc. atuam como geralmente fazem em inteiros.
com
[[ $file_size < 10737418240 ]]
você está comparando duas strings na ordem de classificação da localidade atual (de acordo com $LC_COLLATE ).