O SSH nunca envia a chave privada pela rede. Isso seria, de fato, tolo.
A chave privada é usada apenas para responder a um "desafio" do host de destino que é gerado usando a chave pública correspondente. Responder ao desafio sem possuir a chave privada é notoriamente difícil, o que torna seguro esse tipo de comunicação porque você não pode quebrá-lo (em um prazo aceitável) adivinhando ie. força bruta.