Você precisa citar "$BIRTHDAY"
, assim:
echo $(date -d "$BIRTHDAY" +%s)
Parece que você está realmente usando o zsh como o shell interativo, já que é o único em que esse comando funcionará corretamente (com um valor padrão do IFS):
date -d $BIRTHDAY +%s
Em qualquer caso, mesmo em zsh, citar a variável é útil:
date -d "$BIRTHDAY" +%s