Você pode usar algo como:
sed 's/;VAREXT.[^;]*//' file #combine with -i for in-place editing
Teste:
a=$'"ROW2: VAR1:"Value 4";VAR2="Value 5";VAREXT="Different Values";VAR3="Value 6"'
b=$'"ROW2: VAR1:"Value 4";VAR2="Value 5";VAREXT="1234567";VAR3="Value 6"'
c=$'"ROW2: VAR1:"Value 4";VAR2="Value 5";VAREXT="VAREXT";VAR3="Value 6"'
echo "$a" |sed 's/;VAREXT.[^;]*//'
echo "$b" |sed 's/;VAREXT.[^;]*//'
echo "$c" |sed 's/;VAREXT.[^;]*//'
"ROW2: VAR1:"Value 4";VAR2="Value 5";VAR3="Value 6"
"ROW2: VAR1:"Value 4";VAR2="Value 5";VAR3="Value 6"
"ROW2: VAR1:"Value 4";VAR2="Value 5";VAR3="Value 6"