Você provavelmente quis escrever
FILE_NAME='(cat somefile | head -1) | tee -a dump.txt'
echo $FILE_NAME
(ou head -1 somefile
para se livrar do gato)
O tubo externo 'é mais um erro lógico. Você esperaria que fosse um erro de sintaxe, mas não é assim que o Bash funciona, simplesmente não dá o resultado esperado.
Compare também sem a atribuição de variáveis:
$ echo hello > somefile
$ '(cat somefile | head -1)' | tee -a dump.txt
bash: hello: command not found
A primeira linha de somefile não é ecoada para stdout, mas interpretada como um comando. Como o comando não pode ser executado, o tee não obtém a saída e não é realmente executado, pois não há nenhum pipe para fazer.