Não, não há local padrão ou até mesmo vagamente comum para um arquivo temporário por processo. A razão é que os arquivos temporários por processo são muito incomuns. O ponto de um arquivo temporário é quase sempre trocar dados entre processos. Se um processo não precisar se comunicar com outros processos, ele poderá manter os dados em sua memória.
O que faria um pouco mais de sentido é um diretório temporário por processo cujos arquivos também são acessíveis a outros processos, mas que são removidos quando o processo é encerrado. No entanto, essa é uma operação bastante cara (em termos de complexidade de implementação): matar o processo teria que executar uma remoção recursiva de arquivos e diretórios, o que pode fazer coisas muito complexas, como fazer com que um ponto de montagem desapareça. O benefício seria bastante pequeno para algo que pode ser implementado em algumas linhas de shell.
#!/bin/sh
tmpdir=$(mktemp -d) || exit
the_real_program; ret=$?
rm -rf -- "$tmpdir"
exit $ret
Tecnicamente, o que você quer seria possível com o FUSE : faça o processo implementar um sistema de arquivos temporário através do driver FUSE . Mas, novamente, isso é muita complexidade para pouco benefício.