EDITAR:
Eu tenho feito algum teste, se você executar o comando como este, você obterá saída local
ssh yourserver < ./your_script.sh > your_script.stdout
END EDIT
Do meu ponto de vista, você tem duas opções.
Opção 1
Depois de executar o script.sh em cada servidor e ter sido escrito o resultado do comando para /var/tmp/filename_output.txt no servidor remoto
scp /var/tmp/filename_output.txt myserver:/prefered_location/server_name.log
rm /var/tmp/filename_output.txt
Opção 2
Exporte um NFS do seu servidor e importe em todos os servidores da sua rede, assim você pode ter um FS local em cada um dos outros servidores apontando para o principal e seus problemas são resolvidos colocando a saída do comando em um arquivo dentro do FS apontando para o NFS.
Se você precisar de instruções sobre como exportar um NFS e importá-lo em máquinas clientes, me avise